Oneindig
Het gedicht speelt met de begrippen oneindig klein en oneindig lang en verbindt op die manier het heel kleine met het heel grote. De ik-figuur voelt zich eerst heel klein, maar dat slaat om naar heel groot.
Oneindigheid is een begrip dat ons voorstellingsvermogen te boven gaat. ‘Oneindig’ is een woord dat in de dagelijkse taal gebruikt wordt zonder dat men precies weet wat het betekent. Het wordt vaak gebruikt als men ‘onvoorstelbaar’ bedoeld.
Punten
In de wiskunde heeft een punt heeft geen afmetingen, dus geen lengte, breedte, oppervlakte of volume. Of zoals Euclides het zo mooi zei “een punt is dat wat geen delen heeft”. Een punt is dus oneindig klein.
Lijnen
Net zoals een punt is ook een lijn een wiskundig grondbegrip. Net als een punt heeft een lijn geen breedte, oppervlakte of volume. Maar wel lengte. Een lijn strekt zich tot in het oneindige uit en is dus oneindig lang.
Punten vormen lijnen
Men kan zich een lijn voorstellen als een aaneenschakeling van punten. Het is bijzonder dat oneindig lang opgebouwd kan zijn uit elementen die oneindig klein zijn. Dat komt doordat het er oneindig veel zijn.
Hilberts hotel
Een mooie illustratie van oneindigheid is Hilberts hotel. Dit hotel heeft oneindig veel kamers. Zelfs als het hotel vol is, weet de receptionist telkens weer een extra gast onder te brengen. Hij laat namelijk iedere reeds aanwezige gast verhuizen naar de kamer met het opvolgende kamernummer. Zo komt kamer 1 vrij en hebben ook alle reeds aanwezige gasten een kamer. Op een gegeven moment komt er een (grote) bus met oneindig veel gasten aan. En zelfs voor deze grote hoeveelheid gasten weet hij oneindig kamers vrij te maken, waarbij alle reeds aanwezige gasten ook weer een kamer hebben.
Verschillende groottes van oneindigheid
Een lijn bevat oneindig veel punten. Maar het aantal punten van twee lijnen is niet twee maal zo veel. Het is even groot, ook oneindig. Toch bestaan er verschillende groottes van oneindigheid, zoals George Cantor in de 19e eeuw bewees.
Paradox van Achilles en de schildpad
Ook de paradox van Zeno (5e eeuw voor de jaartelling) over een hardloopwedstrijd tussen de Achilles en een schildpad heeft met oneindigheid te maken.
De afstanden die Achilles aflegt worden steeds kleiner. Dit gaat door tot in het oneindige; de afgelegde stukjes naderen naar oneindig klein. Achilles moet dan ook oneindig veel stukjes afleggen om naast de schildpad te komen. Zo krijgen we een som waar oneindig veel stukjes worden opgeteld. Zo’n som wordt een reeks genoemd. Ondanks dat we oneindig veel stukjes afstand optellen kan de uitkomst toch een eindige afstand zijn, als de waarden op het einde van de reeks maar klein genoeg zijn. En het laatste stukje afstand is oneindig klein. Je zou kunnen zeggen dat de twee oneindigheden elkaar opheffen.
Hetzelfde geldt voor de tijd die Achilles daarvoor nodig had. De stukjes tijd benodigd om de steeds kleiner wordende afstandjes af te leggen naderen naar oneindig klein. Achilles moet oneindig veel stukjes afleggen. Daar horen oneindig veel stukjes tijd bij. Ook de som van deze (oneindige) reeks stukjes tijd convergeert toch naar een eindig tijdsinterval. Want voor het laatste stukje afstand, dat oneindig klein was, had hij oneindig weinig tijd nodig.
De conclusie van de paradox, dat Achilles de schildpad nooit inhaalt, klopt dus niet. Precies na het eindige tijdsinterval loopt Achilles naast de schildpad. En het volgende moment gaat hij er langs.
Zie ook de toelichting bij het gedicht “Testudo”.